Demostración matemática: La estética de la lógica.

La demostración matemática es una cadena finita de proposiciones verdaderas que se obtienen con ayuda de reglas de inferencia lógicas. El punto de partida de esta cadena son las proposiciones cuya verdad es conocida, y terminan en una conclusión que se infiere de éstas. Existen demostraciones de tipo directa, las cuales consisten en partir de las premisas del enunciado matemático y aplicando las reglas de la lógica se llegan a una conclusión; Demostraciones por inducción matemática (la inducción en matemáticas es distinta de la inducción que se usa en ciencia o filosofía), es un método especial que permite pasar de observaciones particulares a conocimientos universales (a diferencia de la inducción en ciencia, la verdad a

la que llega la matemática es infalible), es decir, se prueba para el caso particular,se supone válido para el caso general n=k, y se prueba con estas suposiciones el caso n=k+1. Este tipo de demostraciones se usa generalmente para el caso de números naturales; Demostraciones indirectas, en éstas para establecer la verdad de un enunciado matemático A se hace la suposición provisional de que (lo contrario de A) es verdadero, entonces mediante una cadena de razonamientos lógicos se produce una contradicción de A´, mostrando así que es un absurdo. Por lo tanto, con base en el principio lógico fundamental del “tercero excluido”  lo absurdo de establece la veracidad de A.

Ahora pasaremos a hacer una pequeña demostración, si no tienes mucho acercamiento a la disciplina matemática posiblemente se te pueda complicar un poco, sin embargo, te aconsejamos vayas paso a paso, intentaremos ser lo más claros posibles sin perder la rigurosidad de la demostración, al final de este ejemplo, entenderás mejor las matemáticas, y sobre todo, habrás hecho tu primer demostración con la rigurosidad que la matemática exige.

Empezaremos por dar dos definiciones (éstas son los cimientos de nuestro edificio, de ellas partimos para hacer nuestra demostración).

Definición 1.- Los números naturales de la forma 2K donde K es un número entero reciben el nombre de números pares. (Por ejemplo el 2 ya que lo podemos escribir como 2*1 donde k=1;el número 30 es par pues lo podemos escribir como 2*15 donde k=15, etc).

Definición 2.- los números naturales de la forma 2K+1 donde K es un número entero, reciben el nombre de números impares. (Por ejemplo el número 3 es impar ya que lo podemos escribir como (2*1)+1, donde k=1; el número 61= (2*30)+1, donde k=30, etc).

Ahora damos la siguiente Proposición.- Todo número natural n (son los números que utilizamos para contar, 1, 2, 3,…) puede escribirse ya sea en la forma 2K , o en la forma, 2K+1 para algún entero K. (Es decir, Todo número natural es par o impar.) Que todo número es par o impar, no parece ser un conocimiento difícil de aprender y comprender, pero esto se debe a que en el conocimiento no especializado se ha hecho algo cotidiano, sin embargo, el matemático no se conforma con esta conclusión, debe además demostrarla y esto nos lleva al siguiente desarrollo.

Demostración.

Procedemos por inducción, notemos que en el caso particular n=1 es un número impar; n=2 es un número par.

Supongamos que n es par o impar (notemos que aquí tenemos dos casos, uno es suponer que n es par y el segundo que n es impar, debemos ver qué sucede para ambos casos.)

Caso I.- Supongamos que n es par, y veamos que pasa para n+1. Cómo n es par entonces por la definición 1, n tiene la siguiente forma: n=2k con k en los enteros, luego n+1=2k+1 por lo tanto n+1 resulta ser un número impar.

Caso II.- Supongamos que n es impar y una vez más veamos qué pasa con n+1. Cómo n es impar entonces por la definición 2, n es de la forma n=2k+1 con k en los enteros, luego n+1= (2k+1)+1=2k+2=2(k+1) como k+1 es un número entero entonces n+1 =2m con m=k+1. Por lo tanto n+1 es un número par.

Por  todo lo anterior, hemos demostrado que todo número natural es par o impar. (Si bien es una demostración muy básica y sencilla, el objetivo es tratar de ejemplificar y acercar un poco más al lector a lo que es una demostración en matemáticas).

Los matemáticos están obsesionados con la idea de “Demostración”, por mucha evidencia circunstancial que puede haber a favor de un enunciado, el matemático no queda satisfecho hasta que el enunciado es demostrado con pleno rigor lógico, con todo hecho preciso e inequívoco. Es por esto que la matemática puede presumir que alcanza la universalidad y necesidad. La demostración no es un divertimento mental, es la única forma en que podemos conocer la verdad, ninguna evidencia experimental puede sustituirla, por esta razón, la demostración no es un método más para la matemática, es en cambio, la única forma en la que se puede acceder al reino de la verdad.

M. en C. Yesenia Bravo O.

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